Il gatto di Felix Bloch

Archive for the ‘Struttura della materia’ Category

Il gatto di Felix Bloch

domenica, Gennaio 23rd, 2022

teorema di bloch,elettroni, onde di bloch

Nel 1931 Wolfang Pauli scriveva a Pierls: "Non si deve lavorare sui semiconduttori, sono una porcheria. Chissà se i semiconduttori esistono realmente."

«Il problema principale era di spiegare come gli elettroni potessero sgattaiolare tra tutti gli ioni del metallo, evitando di avere un libero cammino medio dell'ordine delle distanze interatomiche»
Felix Bloch, 1928

In approssimazione zero anziché concentrarsi sul sistema costituito dagli elettroni di conduzione (in un metallo, per intenderci), ci si focalizza sull'hamiltoniana di singolo elettrone cercando di sfruttare le simmetrie del sistema medesimo (si pensi, ad esempio, al modello di Thomas-Fermi, dove è presente una simmetria sferica (potenziale centrale)). Nello specifico, abbiamo una evidente simmetria per traslazione sul reticolo cristallino che idealizza il solido. Ciò si traduce in una periodicità dell'energia potenziale (nelle coordinate spaziali). In altri termini, il singolo elettrone si muove in un campo di forze derivante da un potenziale periodico. Ne segue il problema agli autovalori per l'hamiltoniana, i.e. la ricerca delle autofunzioni e degli autovalori dell'energia (stati stazionari di singolo elettrone). Questo problema è elegantemente risolto dal teorema di Bloch che è per così dire, la versione fisica del teorema di Floquet per le equazioni differenziali a coefficienti periodici (tale è l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo per un potenziale periodico). Per ora non entriamo nei dettagli per la dimostrazione del predetto teorema (lo faremo in un altro post), anche perché è intuitivamente ovvio. Infatti, se assumiamo un potenziale costante ovvero nullo giacché possiamo mettere dove ci pare lo zero dell'energia potenziale, le autofunzioni dell'energia dell'elettrone sono onde piane monocromatiche (cioè lunghezza d'onda definita => numero d'onde definito => impulso definito). Quale è l'immediata generalizzazione di un potenziale costante? Risposta: un potenziale periodico (nelle coordinate spaziali), in quanto quest'ultimo riprende sempre gli stessi valori. (altro…)

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L'approssimazione di Born-Oppenheimer

martedì, Maggio 4th, 2021

In quest'approssimazione una molecola è schematizzata attraverso un sistema di N nuclei ed n elettroni. Il punto di partenza di tale approccio consiste nel disaccoppiare il moto degli elettroni da quello dei nuclei. Ciò si giustifica osservando che siccome la massa dei nuclei è molto maggiore di quella elettronica, classicamente ci si aspetta che il moto di questi ultimi sia più «veloce». I livelli energetici elettronici vengono determinati, scherzosamente parlando, "a bocce ferme", ossia considerando fermi i nuclei. Le inevitabili oscillazioni dei nuclei (a meno di portare il sistema alla temperatura dello zero assoluto) intorno alle loro posizioni di equilibrio, vengono aggiunte successivamente. Ne segue che a differenza degli atomi, nelle molecole i livelli energetici elettronici vengono a dipendere parametricamente dalle posizioni dei nuclei. Tali oscillazioni compongono i cosiddetti moti vibrazionali (che vanno quantizzati). Inoltre, approssimando la molecola a un corpo rigido, scopriamo una rotazione attorno a un qualche asse per il baricentro del sistema. Si parla, quindi, di moti rotazionali (quantizzati).
Ciò premesso, l'hamiltoniana del sistema si scrive: