» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il momento angolare di spin delle lacune

La fig. 1 è presa da una schermata del seguente video.

Nella formulazione di un modello teorico di conducibilità di un semiconduttore e più in generale, di un metallo, si tiene conto del momento angolare di spin degli elettroni solo per ciò che riguarda il principio di esclusione di Pauli e la statistica di Fermi-Dirac. Più precisamente, siccome il regime cinetico delle particelle coinvolte è nonrelativistico, il punto di partenza è l'equazione di Scrhödinger non dipendente dal tempo per ciò che riguarda la determinazione dei livelli energetici. Infatti, abbiamo già esaminato le soluzioni del tipo pacchetto d'onde di Bloch derivante da un potenziale periodico, per cui l'operatore hamiltoniano relativo ai soli gradi di libertà spaziali/orbitali, si scrive:

dove il simbolo incappucciato denota la natura operatoriale (nello spazio di Hilbert L²(R³)) delle grandezze in esame, e la funzione energia potenziale V(r) è periodica nelle coordinate spaziali r=(x,y,z) di periodo pari al passo del reticolo. I gradi di libertà di spin sono inglobati in un secondo operatore di spin H^spin che descrive l'interazione con un eventuale campo esterno (ad es. un campo magnetico). Quindi l'hamiltoniana complessiva è

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Gap Energy di un semiconduttore

Prendendo spunto dal testo Elementi di struttura della materia (fig. 1), cerchiamo di determinare per via sperimentale l'ampiezza della banda proibita di un semiconduttore. Incidentalmente, notiamo un errore in alcuni passaggi del citato testo (si sono dimenticati della somma della mobilità elettronica e della mobilità delle lacune).

Applicando la statistica di Boltzmann (il sistema è lontano dalla degenerazione, non solo per effetto della temperatura, ma anche per la bassa concentrazione di fermioni), è facile svincolarsi dai valori di ε_C e ε_V dove la prima denota la minima energia della banda di conduzione, mentre la seconda è la massima energia della banda di valenza, per inglobarli nel potenziale chimico, impropriamente chiamato livello di Fermi (che in realtà è la massima energia di singolo fermione alla temperatura dello zero assoluto). In poche parole, il fattore di Boltzmann ci consente di esprimere il logaritmo della conducibilità intrinseca come funzione lineare dell'ampiezza del gap e di un altro termine che, sfortunatamente dipende dalla temperatura come T^(3/2), mentre il citato testo lo ritiene costante. C'è poi la questione della dipendenza della mobilità elettronica/temperatura. In ogni caso, andando a pllottare i dati, l'andamento della conducibilità dovrebbe essere lineare. Diversamente, è un bel problema perché implicherebbe una forte dipendenza del gap dalla temperatura, il che renderebbe termicamente instabile il semiconduttore. (altro…)

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