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Esercizio svolto sul Teorema di Bayes

Esercizio

Un'urna A contiene ugual numero di palle bianche e nere; un bambino bendato toglie dall'urna una palla e la pone in un'altra urna B. Un suo aiutante, preso nota del colore della palla estratta, la sostituisce in A con altra di ugual colore, e rimescola. Il bambino estrae quindi da A una seconda palla e la pone in B. Come prima l'aiutante pone in A una palla di ugual colore, e rimescola. L'operazione si ripete identicamente per 10 volte.
Dall'urna B, che contiene 10 palle, per cinque volte consecutive si estrae una palla, che, dopo l'estrazione, viene riposta nell'urna. Le cinque estrazioni hanno dato: 4 palle nere e 1 palla bianca.
Determinare la più probabile composizione dell'urna B.

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Teorema di Bayes

La formulazione più generale del Teorema di Bayes è contenuta dalla formula di fig. 1. Esso consente di determinare la probabilità dell'evento B_j condizionata dall'evento C, risultato di una prova, solo se di tale evento B_j e di tutti gli eventi B_i si conosce la probabilità della prova stessa.

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