Lezioni sulla TEORIA DEGLI OPERATORI LINEARI

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Lezioni sulla TEORIA DEGLI OPERATORI LINEARI

sabato, Novembre 23rd, 2024

Il libro Lezioni sulla TEORIA DEGLI OPERATORI LINEARI. Gli argomenti sono quelli tipici del corso di Metodi matematici della fisica, e sono fondamentali per lo studio della Meccanica quantistica.

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Dalla disuguaglianza di Schwartz alla relazione di indeterminazione

mercoledì, Dicembre 28th, 2022

Link propedeutici:
Algebra dei ket

Abbiamo visto

dove f,g sono continue in [a,b], nota come disuguaglianza di Schwarz. In realtà, questo è un caso particolare giacché stiamo considerando funzioni da [a,b] a R. Più in generale, denotiamo con C°([a,b]) l'insieme delle funzioni continue in [a,b] e a valori in C. Come è noto, tale insieme può essere strutturato come spazio vettoriale sul campo complesso. Introducendo poi il prodotto scalare

il predetto spazio assume la struttura di spazio di Hilbert. E quindi la nozione di norma:

In tale formalismo la disuguaglianza di Schwartz assume la forma più compatta:

valida ovviamente anche nel campo reale (qui abbiamo uno spazio euclideo (infinito dimensionale) anziché uno spazio di Hilbert).

Passiamo ora all'algebra dei ket

essendo . Quindi

Per dimostrare la disuguaglianza di Schwartz, costruiamo una arbitraria combinazione lineare:

Segue

In virtù dell'arbitrarietà di λ

cioè l'asserto.

Ciò premesso, consideriamo una osservabile quantistica A relativa a un assegnato sistema quantistico rappresentato da uno spazio di Hilbert H. A sua volta tale osservabile sarà rappresentata da un operatore hermitiano che indichiamo con lo stesso simbolo. Il valore di aspettazione di A in un generico stato quantistico |ψ> di H è