Dalla disuguaglianza di Schwartz alla relazione di indeterminazione

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Dalla disuguaglianza di Schwartz alla relazione di indeterminazione

mercoledì, Dicembre 28th, 2022

dove f,g sono continue in [a,b], nota come disuguaglianza di Schwarz. In realtà, questo è un caso particolare giacché stiamo considerando funzioni da [a,b] a R. Più in generale, denotiamo con C°([a,b]) l'insieme delle funzioni continue in [a,b] e a valori in C. Come è noto, tale insieme può essere strutturato come spazio vettoriale sul campo complesso. Introducendo poi il prodotto scalare

il predetto spazio assume la struttura di spazio di Hilbert. E quindi la nozione di norma:

In tale formalismo la disuguaglianza di Schwartz assume la forma più compatta:

valida ovviamente anche nel campo reale (qui abbiamo uno spazio euclideo (infinito dimensionale) anziché uno spazio di Hilbert).

Passiamo ora all'algebra dei ket

essendo . Quindi

Per dimostrare la disuguaglianza di Schwartz, costruiamo una arbitraria combinazione lineare:

Segue

In virtù dell'arbitrarietà di λ

cioè l'asserto.

Ciò premesso, consideriamo una osservabile quantistica A relativa a un assegnato sistema quantistico rappresentato da uno spazio di Hilbert H. A sua volta tale osservabile sarà rappresentata da un operatore hermitiano che indichiamo con lo stesso simbolo. Il valore di aspettazione di A in un generico stato quantistico |ψ> di H è

Definiamo l'operatore hermitiano

Quindi calcoliamo il valore di aspettazione

noto come dispersione dell'osservabile A nel predetto stato. Sviluppando il quadrato e dopo semplici calcoli:

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Barriera di potenziale deltiforme

venerdì, Aprile 8th, 2022

equazione di Schrödinger stazionaria,delta di dirac — **Fig. 1.**

Utilizzando note proprietà della funzione delta di Dirac, non è per nulla complicato risolvere l'equazione di Schrödinger stazionaria per un sistema quantistico unidimensionale costituito da una particella che si muove in un campo di energia potenziale V(x)=βδ(x), essendo β>0. Imponendo la continuità della corrispondente soluzione in x=0 (ma non quella della derivata che presenta una discontinuità di prima specie) si ottiene l'andamento animato in fig. 1.