Archive for the ‘Meccanica analitica’ Category

Vibrazioni e deformazioni

sabato, Ottobre 30th, 2021

vibrazioni,corda, equazione di eulero
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Si consideri una corda metallica tesa tra due punti A e B avente sezione costante A, densità ? (kg /m³) momento d'inerzia J della sezione nullo, quindi una corda infinitamente flessibile. Si assume che la forza F sia costante lungo la corda e che rimanga invariata durante la vibrazione. Trovare l'equazione che mette in relazione la frequenza fondamentale di vibrazione della corda e le caratteristiche fisiche e geometriche di questa.


Soluzione

Dalla fig. 1 vediamo che per una lunghezza ds della corda si ha ds=rdφ. Sempre per una lunghezza ds possiamo scrivere ds~dx. La risultante delle due forze applicate alle estremità dell'arco ds è una forza perpendicolare alla corda dx e rivolta verso la parte interna dell'arco, sì da formare una forza di richiamo.
Dunque sulla corda grava una forza di richiamo Fdx=Fds=Frdφ cioè

Ricordiamo che 1/r è la curvatura della deformata elastica pari all'angolo φ di rotazione della sezione in esame. Si ricorderà che

dove η=freccia in funzione di x. La forza d'inerzia newtoniana (massa×accelerazione) agente sullo stesso tratto dx vale:


Cioè

essendo


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Particella vincolata alla superficie di un paraboloide

mercoledì, Ottobre 27th, 2021

particella, paraboloide,gravità
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:

a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.


Soluzione

In coordinate cilindriche abbiamo P(r,φ,z) e l'equazione del parabolide in tale sistema di coordinate è z=Ar² dove A è una costante positiva.
Quesito a

La lagrangiana è


Tenendo conto dell'equazione del paraboloide, si ha:


Quindi


Quesito b
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