Vibrazioni e deformazioni (parte 2)

Novembre 1st, 2021 | by Marcello Colozzo |

vibrazioni,deformazioni,corda,equazione di eulero — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Si consideri un piccolo tratto Δl di corda metallica - densità ρ e sezione A - che lungo la direzione x subisce piccole oscillazioni e chiamiamo con F₁ e F₂ le tensioni applicate alle sue estremità. Determinare velocità di propagazione e frequenza fondamentale di vibrazione.

Soluzione

Seguendo la fig. 1 per piccole oscillazioni possiamo scrivere θ~0 e Δθ è del secondo ordine. Inoltre non essendoci moto lungo l'asse x possiamo pensare che la componente x della forza netta agente su Δl sia nulla. Pertanto:

Per piccoli θ si ha

allora l'equazione sopra diventa

Ma quest'ultima è la forza d'inerzia (massa×accelerazione) applicata al tratto Δl. Quindi:

che è l'equazione di Eulero già incontrata nel precedente esercizio. Poniamo

ed è facile persuadersi che si tratta del quadrato della velocità di propagazione della vibrazione/deformazione.

Quindi

Nel precedente esercizio s'era visto che una corda di lunghezza l ha una vibrazione fondamentale di lunghezza d'onda ?=2l. Ne segue la frequenza fondamentale angolare è