» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:

a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.

La fig. 1 mostra un regolatore a sfere centrifughe, del quale trascureremo attriti e masse non specificatamente indicati. Si chiede di calcolare:

a) l'altezza di equilibrio della massa M;
b) la frequenza di piccole oscillazioni attorno a questo valore.