» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Moneta che rotola su un'altra moneta. Parte seconda: traiettoria non periodica

lunedì, Ottobre 16th, 2017

Nella lezione predecente abbiamo visto che le equazioni orarie del moto di un punto del bordo di una moneta di raggio R che rotola senza strisciare sul bordo di un'altra moneta di raggio R₀>=R si scrivono:

Ciascuna di tali funzioni è una somma di due funzioni periodiche. Precisamente:

dove

e

essendo

f₁+f₂ (e quindi g₁+g₂) è periodica se e solo se

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[¯|¯] Moneta che rotola su un'altra moneta (parte prima)

domenica, Ottobre 15th, 2017

1. Scrivere l'equazione oraria del moto di un punto P del bordo di una moneta M di raggio R che rotola senza strisciare sul bordo di una moneta M0 di raggio R₀>=R.
2. Determinare una rappresentazione parametrica della traiettoria Γ, individuando eventuali punti singolari.
3. Discutere il caso r=r0, determinando il numero di rotazioni eseguite da M.

Soluzione
Fissiamo un riferimento cartesiano ortogonale Oxy con origine nel centro della circonferenza

come illustrato in fig. 1.

Il problema consiste nel determinare il vettore posizione x(t) del punto P. Dalla fig. 1

dove x_C(t) è il vettore posizione del centro C di

mentre y(t) è il vettore spiccato da C verso P. Se la moneta M rotola sul bordo di M ruotando a velocità angolare costante ω0, l'angolo che x_C(t) forma con l'asse x si scrive:

Esplicitiamo i singoli vettori

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