» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Matrici di rotazione e curve cicloidali in spazi non euclidei

giovedì, Ottobre 19th, 2017

Nel libro Guida a Mathematica sono riportate alcune routine per la generazione di cicloidi, utilizzando il formalismo delle matrici di rotazione. Queste ultime a volte sono fonte di confusione, nel senso che bisogna distinguere le rotazioni attive (in cui un ente geometrico ruota mentre gli assi sono fissi) dalle rotazioni passive (gli assi ruotano e l'ente geometrico è fermo), tant'è che all'inizio del capitolo sulle cicloidi è riportato un errore come mostrato in figura:

Nel file pdf allegato a questo post, abbiamo sviluppato per conto nostro il formalismo adatto per giungere all'equazione della cicloide.
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[¯|¯] Equazione della cicloide

martedì, Ottobre 17th, 2017

Assegnato un riferimento cartesiano del piano (Oxy), si consideri il cerchio Σ(t), essendo t il tempo, che rotola senza strisciare lungo l'asse x (nel verso positivo). All'istante iniziale t=0 è Σ(0)=Σ₀, ove

cosicché la frontiera γ₀ di Σ₀ è la circonferenza di centro C₀(0,R) e raggio R:

Si determini l'equazione della traiettoria del punto P(t)di Σ(t) tale che P(t=0)=P₀(0,0), nell'ipotesi in cui il centro di Σ(t) compie un moto rettilineo ed uniforme.
Soluzione
Il centro C(t) di Σ(t) i.e. della circonferenza γ(t) quale frontiera di Σ(t) ha coordinate (s(t),R) dove s(t)=v₀*t con v₀ costante reale positiva, giacché per ipotesi tale punto compie un moto rettilineo ed uniforme.
Dal momento che Σ(t) rotola senza strisciare, si ha che adottando un riferimento curvilineo su γ(t) con origine nel punto (s(t),0), l'ascissa curvilinea di P(t) è data proprio da s(t), cioè dalla distanza percorsa dal predetto punto al tempo t. Il corrispondente angolo è

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