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Vettori tangenti a una curva, formanti un angolo costante con un vettore assegnato

Esercizio
Mostrare che i vettori tangenti alla curva di fig. 1 formano un angolo costante con il vettore w=i+k. I coefficienti a,b sono assegnati e verificano la condizione 2b²=3a.

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Condizione necessaria e sufficiente affinché una curva sia una retta

Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinché la curva

sia una retta, è che la curvatura k(t) sia la funzione identicamente nulla.

Dim.

La condizione è sufficiente
Per ipotesi è k(t)=0, per ogni t reale. In funzione del parametro naturale s e con ovvio significato dei simboli:

che è la rappresentazione naturale di una retta.

La condizione è necessaria
Per ipotesi γ è una retta, per cui una qualunque rappresentazione parametrica è

con a,b vettori costanti. Un vettore tangente è

Dal teorema precedente

Theorem
Necessary and sufficient condition for the curve

is a straight line, is that the curvature k (t) is the identically null function.

Proof

The condition is sufficient
By hypothesis it is k(t) = 0, for every real t. According to the natural parameter s and with obvious meaning of the symbols:

which is the natural representation of a straight line.
The condition is necessary
By hypothesis γ is a straight line, so any parametric representation is

with a, b constant vectors. A tangent vector is

From the previous theorem

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