» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Carte locali

domenica, Dicembre 25th, 2022

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Per un'assegnata rappresentazione parametrica regolare x(u,v) di classe C^p sull'aperto B, di una superficie S, consideriamo l'applicazione

definita in B e a valori nel piano cartesiano (θ,φ), e tale che

In generale, la predetta applicazione non è globalmente iniettiva, ma lo è localmente in virtù del Teorema del Dini
Precisamente:

con inversa

che è di classe C^{p} su W^{*}, come illustrato in fig.

In altre parole, per il teorema del Dini la restrizione di θ(u,v),φ(u,v) all'aperto W è bi-iettiva, quindi invertibile:

Tale applicazione ci consente di definire la funzione composta:

Calcoliamo le derivate parziali applicando la regola di derivazione delle funzioni composte:

Quindi il prodotto vettore:

Lo jacobiano della trasformazione u=u(θ,φ),v=v(θ,φ) è

Quindi

cosicché x=ξ(θ,φ) è una rappresentazione parametrica regolare di classe Cp su W*, di S* contenuta in S, dove S* è l'immagine di W*. Diremo che la predetta rappresentazione è una carta locale di classe C^p su W*, di S*. (altro…)

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Superfici. Rappresentazione parametrica regolare

venerdì, Dicembre 23rd, 2022

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Nel caso delle curve abbiamo visto che una rappresentazione parametrica è una funzione vettoriale di una variaible reale t (parametro della rappresentazione) x=x(t) i.e. una terna ordinata di funzioni scalari:

È intuitivamente ovvio aggiungere un parametro per poter rappresentare una superficie di R³:

Queste equazioni istituiscono una corrispondenza tra i punti (u,v)?B e i punti della superficie S rappresentata parametricamente dalla predette equazioni, come illustrato in fig. 1. Alle linee coordinate u=u₀,v=v₀ - nello spazio B - corrispondono sulla superficie S, le curve:

come illustrato nella seguente figura:

Assumendo le x(u,v),y(u,v),z(u,v) parzialmente derivabili in B, costruiamo la matrice jacobiana della predetta rappresentazione

Definizione
La rappresentazione parametrica assegnata è una rappresentazione parametrica regolare di classe C^p (p >= 1), se
1) e funzioni x(u,v),y(u,v),z(u,v) sono di classe C^p in B, i.e. continue in B e ivi dotate di derivate parziali continue fino all'ordine p;
2) risulta

Si noti che la sola condizione di derivabilità delle predette funzioni ci permette di definire un vettore tangente alle u-curve e alle v-curve. Precisamente:

essendo

Ne segue che x_u(u₀,v₀) è un vettore tangente a Γ_u nel punto P₀(u₀,v₀). In maniera simile, x_v(u₀,v₀) è un vettore tangente a Γ_v nel medesimo punto, come illustrato in fig.

(altro…)

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