L'inviluppo quale luogo dei punti di flesso

Dicembre 25th, 2020 | by Marcello Colozzo |

inviluppo,punti di flesso,parabola cubica — **Fig. 1**

In this other example we see that the envelope is the locus of the inflection points of a single curve of the assigned family. In other words, the points of tangency are not always points of curvature for the curves of the family.
Esercizio

Si determini l'inviluppo della famiglia di parabole cubiche (fig. 1).

Soluzione
Poniamo e deriviamo rispetto al parametro

Quindi risolviamo il sistema

cioè l'asse x. Potrebbe essere l'inviluppo o la curva discriminante. Verifichiamo calcolando le derivate parziali

per cui non si annullano mai simultaneamente. Ne segue che l'asse x è l'inviluppo della famiglia assegnata. In particolare i punti di tangenza sono punti di flesso, come vediamo dalla fig. 1.

Exercise

Determine the envelope of the family of cubic parabolas (fig. 1).

Solution
We set and derive with respect to the parameter

So let's solve the system

i.e. the x axis. It could be the envelope or the discriminating curve. We verify by computing the partial derivatives

so they never cancel simultaneously. It follows that the x axis is the envelope of the assigned family. In particular, the points of tangency are points of inflection, as we can see from fig. 1.

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