» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Solitoni dall'equazione di Schrödinger?

lunedì, Maggio 18th, 2020

Come è noto, i solitoni rappresentano un particolare fenomeno di propagazione ondosa governato da un'equazione differenziale nonlineare. Diversamente, secondo un lavoro pubblicato dai fisici Zamboni-Rached-Recami, l'equazione di Schrödinger ammette questa particolare classe di soluzioni. Ciò potrebbe apparire sorprendente, giacché la predetta equazione differenziale è lineare. Da una lettura veloce del lavoro citato, emerge che viene simulata la propagazione di un'onda di De Broglie associata a un elettrone libero nonrelativistico, in una configurazione a simmetria cilindrica. In parole povere, non si ha la tipica onda piana bensì un'onda "cilindrica" (i.e. il fronte d'onda è la superficie laterale di un cilindro). Sarebbe interessante poter tirar fuori qualcosa di simile in un moto unidimensionale. A tale scopo, rammentiamo rapidamente il metodo utilizzato per lo studio della propagazione di un pacchetto d'onde unidimensionale.
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Incertezza sulla posizione di una particella la funzione d'onda è un pacchetto d'onde

mercoledì, Maggio 13th, 2020

Continuiamo l'esercizio di ieri.

Per calcolare la deviazione quadratica media Δx, dobbiamo dapprima calcolare i valori medi e sullo stato definito dalla funzione d'onda ψ₀(x), giacché

avendosi

essendo ρ₀(x)=|ψ₀(x)|² la densità di probabilità di trovare la particella in un assegnato intervallo infinitesimo [x,x+dx]. Abbiamo, dunque

che può essere prolungata per continuità in x=±1/a, avendosi ρ₀(±1/a)=0. La funzione ρ₀(x) è manifestamente pari e il suo grafico in [-1/a,1/a] è l'unione di due archi di parabola aventi vertici in (±1/a,0) rispettivamente. Ad occhio vediamo che =0. Più precisamente

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