Fisica Teorica

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Le "onde anticipate" di Fantappiè

venerdì, Aprile 23rd, 2021

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Partiamo dall'equazione di D'Alembert 1-dimensionale scritta in forma operatoriale

cosicché le soluzioni sono elementi del Kernel dell'operatore delambertiano, che nella rappresentazione spaziotemporale xt si scrivono

Fisicamente, la più generale soluzione dell'equazione di D'Alembert è una sovrapposizione lineare di un sistema di onde piane, di cui una è progressiva, l'altra regressiva. Una particolare classe di soluzioni è del tipo onda piana monocromatica, i.e. quando f (o g) è sinusoidale. In notazione complessa scriviamo

avendo introdotto il numero d'onde k e la frequenza angolare ω. La linearità dell'equazione di D'Alembert ci consente di sviluppare la soluzione generale in integrale di Fourier rispetto alla variabile tempo:

Imponendo che ψ(x,t) sia una soluzione, si trova una relazione tra ω e k, che non stiamo qui a ricavare. Il predetto sviluppo non fa altro che «decomporre» la soluzione ψ(x,t) in un componenti monocromatiche. Precisamente, la grandezza differenziale

è l'ampiezza delle componenti monocromatiche di frequenza appartenenti all'intervallo infinitesimo [ω,ω+dω]. Si noti che l'integrazione va eseguita da -oo a +oo, cosicché si apre il fastidioso problema dell'interpretazione delle «frequenze negative». Incidentalmente lo spettro che cade in (-oo,0) non può essere ignorato, in quanto ciò violerebbe le ipotesi del teorema che sta alla base dello sviluppo di Fourier (qui c'entra la complicata nozione di «completezza» di un sistema di autofunzioni).

Nel 1943 il matematico italiano Luigi Fantappiè propose la seguente interpretazione delle onde a frequenza negativa: nell'integrale di Fourier procediamo per decomposizione

Nell'integrale I₁ eseguiamo il cambio di variabile ω'=-ω, per cui

cosicché

avendo rinominato omega;' in omega;, giacché si tratta di una variabile muta. Segue banalmente

In altri termini, l'integrale generale della celebre equazione d'onda di D'Alembert si esprime come sovrapposizione lineare di una «onda ritardata» e di una «onda anticipata». Quest'ultima denominazione è legata al fatto che la predetta onda si propaga «indietro nel tempo».

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L'equazione d'onda di Klein-Gordon

giovedì, Aprile 22nd, 2021

Ricordiamo che lo stato quanto-meccanico di una particella nonrelativistica di massa m è una soluzione dell'equazione di equazione di Scrhoedinger che qui scriviamo in forma operatoriale:

dove

è l'operatore hamiltoniano, mentre ψ è la funzione d'onda della particella. Rammentiamo velocemente la rappresentazione dei vari operatori nella base delle coordinate

per cui ritroviamo la ben nota forma dell'equazione di Scrhödinger:

Per scrivere un'equazione d'onda relativistica, prendiamo spunto dalla seguente sostituzione formale:

Qui H è la funzione hamiltoniana della particella. Dalla meccanica relativistica, sappiamo che per una particella libera

onde

ossia

nota come equazione di Klein-Gordon. Si noti che se non ci fosse il terzo termine a primo membro, la K-G sarebbe la equazione di D'Alembert. Un'altra differenza notevole rispetto a quella di Schrödinger è che la K-G è del secondo ordine nella derivata temporale. E ciò presenterà problemi interpretativi
Dopo qualche manipolazione, si giunge all'equazione di continuità per la grandezza

Precisamente

Siamo tentati a chiamare ρ «densità di probabilità», ma la presenza della derivata seconda rispetto al tempo nella K-G porta a una inconsistenza. Precisamente, dal momento che l'equazione del secondo ordine e «somiglia» alla D'Alembert, si ha che un problema di Cauchy è caratterizzato da condizioni iniziali (con ovvio significato dei simboli):

dove le funzioni sono assegnate ad arbitrio. Ciò implica che la grandezza ρ non è definita positiva, per cui non è una densità di probabilità. Una possibile re-interpretazione consiste nel ridefinire:

essendo q la carica elettrica (eventualmente nulla) della particella. Siamo interessati alle soluzioni del tipo onda piana monocromatica che come è noto, sono stati quantistici con valore definito dell'impulso. Senza ledere la generalità, consideriamo il caso unidimensionale:

Cerchiamo soluzioni del tipo

Dopo qualche passaggio

Moltiplicando primo e secondo membro per la costante ridotta di Planck e rammentando la relazione tra pulsazione ed energia, e tra numero d'onde ed impulso, si ha