Stati coerenti dell' oscillatore armonico

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Stati coerenti dell' oscillatore armonico

lunedì, Maggio 3rd, 2021

oscillatore armonico unidimensionale,stati coerenti,operatore di distruzione — **Fig. 1**

Per lo studio degli stati coerenti in Meccanica quantistica, consideriamo il caso particolare dell'oscillatore armonico unidimensionale. Qui o spazio di Hilbert associato al sistema è L²(R), mentre l'operatore hamiltoniano è dato da

essendo m la massa della particella e ω la frequenza angolare. Dall'andamento dell'energia potenziale si deduce che questo sistema presenta esclusivamente stati legati. Matematicamente significa che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto ed è contenuto in [0,+oo). Ovviamente è non degenere in quanto il sistema è unidimensionale. Lo spettro può essere risolto utilizzando il metodo operatoriale di Dirac. A tale scopo si definiscono i seguenti operatori non hermitiani:

che verificano la regola di commutazione

Definendo poi l'operatore hermitiano:

si ha

Ne segue che tali operatori hanno un sistema di autoket simultanei:

Dopo alcune manipolazioni si giunge a

per cui denomiamo tali enti rispettivamente operatore di distruzione ed operatore di creazione. Da tali relazioni segue che n è un intero naturale, per cui l'energia dello stato fondamentale è

L'azione dell'operatore di creazione ci permette di ricostuire gli autoket dell'energia:

È istruttivo conoscere le autofunzioni dell'energia:

A tale scopo occorre risolvere l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo, ottenendo

dove H_n(ξ) sono i polinomi di Hermite. Ad esempio:

Seguendo un tipico approccio sperimentale, si prepara inizialmente il sistema in una sovrapposizione finita di autostati dell'energia:

Solitamente si assegnano i coefficienti della combinazione lineare (cioè le amipiezze di probabilità). Ne segue che l'evoluto temporale dello stato iniziale è

Senza perdita di generalità supponiamo che sia n_max=3 e che i coefficienti siano reali. Ad esempio:

e tale stato risulta banalmente normalizzato. Quindi la funzione d'onda iniziale è

Ed è graficata in fig. 2.

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La normalizzazione della funzione d'onda di una particella relativistica di spin 0

sabato, Maggio 1st, 2021

funzione d'onda di una particella relativistica di spin 0,equazione di Klein-Gordon

Riscriviamo l'equazione di Klein-Gordon e il relativo problema di Cauchy:

dove le funzioni che definiscono i valori iniziali, sono scelte ad arbitrio. Tale arbitrarietà distrugge la positività della densità di probabilità

nel senso che tale funzione può essere positiva/negativa o nulla. Prima di reinterpretare la grandezza ρ, osserviamo che tale problema nasce dall'ordine dell'equazione di K-G rispetto alla derivata temporale. Per quanto visto in precedenza, è possibile ridurre di una unità il predetto ordine, definendo due nuove funzioni:

Eseguendo i dovuti passaggi si perviene al sistema di equazioni differenziali

Qui le condizioni iniziali sono

Il sistema può essere scritto in forma operatoriale

in cui abbiamo definito l'operatore hamiltoniano

avendo introdotto le matrici

Prima di scrivere le soluzioni dell'equazione differenziale operatoriale del tipo Schrödinger, osserviamo che lo spazio di Hilbert associato al sistema è