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Stati coerenti dell' oscillatore armonico

Maggio 3rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Per lo studio degli stati coerenti in Meccanica quantistica, consideriamo il caso particolare dell'oscillatore armonico unidimensionale. Qui o spazio di Hilbert associato al sistema è L²(R), mentre l'operatore hamiltoniano è dato da

essendo m la massa della particella e ω la frequenza angolare. Dall'andamento dell'energia potenziale si deduce che questo sistema presenta esclusivamente stati legati. Matematicamente significa che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto ed è contenuto in [0,+oo). Ovviamente è non degenere in quanto il sistema è unidimensionale. Lo spettro può essere risolto utilizzando il metodo operatoriale di Dirac. A tale scopo si definiscono i seguenti operatori non hermitiani:

che verificano la regola di commutazione

Definendo poi l'operatore hermitiano:

si ha

Ne segue che tali operatori hanno un sistema di autoket simultanei:

Dopo alcune manipolazioni si giunge a

per cui denomiamo tali enti rispettivamente operatore di distruzione ed operatore di creazione. Da tali relazioni segue che n è un intero naturale, per cui l'energia dello stato fondamentale è

L'azione dell'operatore di creazione ci permette di ricostuire gli autoket dell'energia:

È istruttivo conoscere le autofunzioni dell'energia:

A tale scopo occorre risolvere l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo, ottenendo

dove H_n(ξ) sono i polinomi di Hermite. Ad esempio:

Seguendo un tipico approccio sperimentale, si prepara inizialmente il sistema in una sovrapposizione finita di autostati dell'energia:

Solitamente si assegnano i coefficienti della combinazione lineare (cioè le amipiezze di probabilità). Ne segue che l'evoluto temporale dello stato iniziale è

Senza perdita di generalità supponiamo che sia n_max=3 e che i coefficienti siano reali. Ad esempio:

e tale stato risulta banalmente normalizzato. Quindi la funzione d'onda iniziale è

Ed è graficata in fig. 2.

L'evoluto temporale di questo particolare stato iniziale è

dove abbiamo soppresso un inessenziale fattore di fase. La parte reale di questa funzione d'onda può essere graficata per assegnati istanti di tempo. Ad esempio, per t=120 (unità adimensionali) otteniamo l'andamento riportato in fig. 3, da cui vediamo una "deformazione" del profilo iniziale.

È istruttivo e suggestivo plottare la funzione d'onda in funzione delle variabili x,t ottenendo il grafico di fig. 1.

I risultati raggiunti si generalizzano facilmente: comunque partiamo da uno stato iniziale quale sovrapposizione di un numero arbitario di autofunzioni dell'energia, il «pacchetto d'onde» si deforma durante la propagazione. Per ottenere uno stato iniziale che evolve senza deformarsi i.e. conservando il profilo iniziale, dobbiamo costruire una particolare sovrapposizione lineare che dà luogo a uno stato coerente. Matematicamente, quest'ultimo è un autovettore dell'operatore di distruzione:

Si noti che λ è un numero complesso, giacché l'operatore di distruzione è non hermitiano. Supponiamo ora che il sistema sia inizialmente preparato in un tale stato:

ove assumiamo |λ> normalizzato. Dal momento che gli autostati dell'energia compongono manifestamente una base ortonormale completa dello spazio di Hilbert associato al sistema, possiamo esprimere il predetto stato come sovrapposizione lineare degli autoket dell'energia:

Per determinare gli autovalori λ dobbiamo risolvere l'equazione caratteristica della matrice rappresentativa dell'operatore di distruzione nella base degli autostati dell'energia. Ma ciò non è possibile in quanto tale matrice è infinito-dimensionale. Possiamo comunque ricavare una relazione di ricorrenza attraverso una applicazione ripetuta dell'operatore di distruzione, per poi ottenere:

E quindi l'evoluto temporale di tale stato in termini di funzioni d'onda:

che però non può essere esplicitata nel senso che non conosciamo il valore di ?. Tuttavia, calcolare i valori di aspettazione dell'osservabile posizione e dell'osservabile impulso, si dimostra che ciò rappresenta la propagazione di un pacchetto d'onde che non perde il profilo iniziale.

Tags: operatore di distruzione, oscillatore armonico unidimensionale, stati coerenti

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