Onde di Bloch in una catena reticolare lineare monoatomica

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Onde di Bloch in una catena reticolare lineare monoatomica

sabato, Aprile 16th, 2022

onde di bloch, reticolo,elettroni,metalli — **Fig. 1.**

Consideriamo una catena reticolare lineare di periodo a, dove in ogni a/2 è allocato uno ione negativo. Fenomenologicamente, il campo di energia potenziale in cui si muove il singolo elettrone è:

grafico della funzione V(x)=V0*sin(π*x/a). Aprendo un notebook di Mathematica impostiamo un'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo, per poi chiedere a Mathematica di integrarla:

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Potenziale periodico. Bande di energia

sabato, Aprile 9th, 2022

Risolviamo lo spettro dell'hamiltoniano di un sistema quantistico unidimensionale sottoposto a un potenziale periodico deltiforme:

Innanzitutto osserviamo che essendo infV(x)=0, lo spettro s(H) è puramente continuo ed è contenuto in (0,+8). Per il teorema di Bloch, le autofunzioni (improprie) dell'energia sono

dove v(x) è periodica di periodo a. Riesce, dunque

Posto ω=e^ika, si ha

per cui la u(x) è quasi periodica, nel senso che la funzione traslata u(x+a) differisce da u(x) per un numero complesso di modulo unitario. Suddividendo l'intervallo [0,2a] in I=[0,a] e II=[a,2a], si ha che in I l'equazione di Schrödinger stazionaria si scrive:

le cui soluzioni sono

con A,B costanti (complesse) di integrazione. Nella regione II sfruttiamo la proprietà di quasi periodicità:

Dobbiamo raccordare le soluzioni in x=a, imponendo la continuità di u(x), e una discontinuità finita della derivata prima (ciò è una conseguenza della presenza di una delta di Dirac, e si ricava facilmente prendendo l'integrale tra -ε e &epsilon di primo e secondo membro dell'eq. di Schrödinger, mandando poi &epsilon->0). Abbiamo

Tenendo delle equazioni scritte più sopra:

che è un sistema lineare omogeneo nelle incognite A,B. Affinché tale sistema ammetta soluzioni non banali, deve annullarsi il determinante della matrice dei coefficienti, da cui otteniamo facilmente