» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esempio di rettangoloide generalizzato di misura infinita

Ancora non abbiamo enunciato un qualche criterio/proposizione per la convergenza di un integrale generalizzato, per cui procediamo attraverso un'operazione di passaggio al limite. Consideriamo ad esempio, il rettangoloide di base [0,1] relativo alla funzione

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[¯|¯] Definizione di integrale generalizzato. Rettangoloide generalizzato

Allo scopo di attribuire un significato preciso all'integrale di una funzione generalmente continua e non negativa, che conservi le proprietà dell'integrale di una funzione continua esteso a un intervallo limitato, dobbiamo considerarel'ultima formula vista in precedenza alla stregua di un valore approssimato per difetto del nuovo ente che vogliamo definire. Per quanto precede, l'insieme T (limitato) di continuità per la funzione f, può essere costruito in infiniti modi. Sussiste, quindi, la seguente definizione:

Definizione
Dicesi integrale della funzione f generalmente continua nell'intervallo X (limitato o illimitato), l'estremo superiore dell'insieme

Cioè

Ovviamente

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