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[¯|¯] Sommabilità di e^-(x)*sin(x)

domenica, Febbraio 17th, 2019

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Esercizio
Studiare l'integrabilità della funzione di fig. 1

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Soluzione

Osserviamo innanzitutto

Siccome

per il teorema dei carabinieri

Inoltre, sempre dalla doppia disuguaglianza appena vista, segue che il diagramma cartesiano della funzione

è contenuto nella regione del piano cartesiano

In parole semplici, la funzione oscilla sinusoidalmente tra le curve esponenziali e^(-x) ed -e^(-x), come illustrato in fig. 1. Inoltre, la funzione si annulla infinite volte e i suoi zeri sono:

per cui cambia infinite volte segno. Applicando questo procedimento, si ha:

Riesce

essendo R_{e^-x il rettangoloide generalizzato relativo a e^-x di base [0,+oo). Per una nota proprietà della misura segue

Da quest'esempio, si ha

Per la proprietà additiva della misura la precedente si riscrive

Ma

onde

da cui la sommabilità della funzione assegnata. A questo punto possiamo calcolare l'integrale con il solito procedimento di passaggio al limite:

che si calcola facilmente, ottenendo il risultato di fig. 1.

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[¯|¯] Integrale generalizzato di una funzione di segno variabile

sabato, Febbraio 16th, 2019

La questione dell'integrabilità diviene più complicata se f non ha segno costante in X. In tal caso, conviene definire le funzioni:

entrambe non negative in X. Segue

che decompone univocamente una qualunque funzione f nelle due parti non negative f₁,f₂.
(altro…)

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