» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Un altro esercizio sul Teorema di Stokes

Esercizio
Assegnato il paraboloide rotondo z=(1/2)(x²+y²), si consideri la superficie (fig. 1) S:z=(1/2)(x²+y²),0=z=2
Verificare il teorema di Stokes per il campo vettoriale u(x,y,z)=3yi-xzj+yz²k
assumendo come pagina positiva di S, quella determinata dal campo dei versori normali n tali che n_z < 0, essendo n_z la componente cartesiana di n secondo l'asse z.

In quest'esercizio anziché fissare il verso positivo su bordo di S cioè su B(S), viene assegnata la pagina positiva (+S) di S. È ovvio che vale sempre la stessa regola: un osservatore spostandosi su B(S) camminando su +S (i.e. con la testa orientata secondo n) lascia i punti interni di S alla sua sinistra. Ne consegue che il verso positivo +B(S) è quello orario.
Dobbiamo ora calcolare n.

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[¯|¯] Applicazione degli integrali di superficie alla Fisica

Esercizio
Si consideri un recipiente a forma di semicono circolare retto come in fig. 1. Se il recipiente è riempito di un liquido di peso specifico µ, qual è la forza esercitata dal liquido sulla parete conica?

Sia S la parete conica. Preso ad arbitrio P(x,y,z)di S consideriamo l'elemento di superficie ds centrato in P, come in fig. 1. Denotando con F la forza esercitata dal liquido su S, si ha manifestamente che tale grandezza è l'integrale di superficie esteso a S della forza elementare dF esercitata dal liquido sul generico elemento d'area di S.
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