Esercizio sulle equazioni differenziali (metodo di Lagrange)

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Esercizio sulle equazioni differenziali (metodo di Lagrange)

venerdì, Maggio 22nd, 2020

equazioni differenziali lineari non omogenee,metodo di lagrange, metodo di variazione delle costanti arbitrarie — **Fig. 1**

Esercizio
Dopo aver verificato che

è un sistema fondamentale di integrali dell'equazione differenziale omogenea

si determini con il metodo di Lagrange, un integrale particolare dell'equazione non omogenea

Soluzione
Si verifica facilmente che gli elementi di Σ₃ sono integrali dell'equazione omogenea assegnata. Determiniamo il wronskiano di tali integrali:

onde Σ₃ è un sistema fondamentale. Un integrale particolare dell'equazione non omogenea si scrive come

dove le incognite risolvono il sistema lineare

il cui determinante dei coefficienti è ovviamente W(x). Applichiamo la regola di Cramer:

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Metodo di Lagrange (o metodo di variazioni delle costanti arbitrarie)

giovedì, Maggio 21st, 2020

equazioni differenziali lineari non omogenee,metodo di lagrange,metodo di variazioni delle costanti arbitarie

Proseguiamo nello studio delle equazioni differenziali (ordinarie) lineari di ordine n. In questa lezione supponiamo noto un sistema fondamentale di integrali dell'equazione omogenea, per cui il problema si riduce alla determinazione di un integrale particolare dell'equazione non omogenea. Esaminiamo un metodo dovuto a Lagrange, meglio noto come Metodo di variazione delle costanti arbitrarie (questa particolare denominazionie segue dal fatto che si forza la soluzione esprimendola come combinazione lineare degli integrali fondamentali. Però i coefficienti della combinazione lineare sono delle funzioni da determinare).
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