» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Prodotto di una funzione divergente per una funzione limitata

Per un noto teorema, il limite del prodotto (o della somma) di due funzioni è il prodotto dei limiti. Una condizione sufficiente ma non necessaria, affinché esista il limite del prodotto (o della somma) è che le singole funzioni siano regolari (i.e. ammettono limite). Infatti, per quanto riguarda la somma, basta considerare f1(x)=x+sin(1/x), f2(x)=x-sin(1/x) entrambe non regolari per x->0. Tuttavia la somma f1(x)+f2(x)=2x è ivi regolare (più precisamente, è infinitesima).
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Funzione non regolare ma limitata

Innanzitutto osserviamo che

Ne segue che abbiamo il prodotto di una funzione non regolare sin(1/x) ma limitata, per una funzione infinitesima. Quindi il limite è zero.
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