» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Prodotto di una funzione divergente per una funzione limitata

Per un noto teorema, il limite del prodotto (o della somma) di due funzioni è il prodotto dei limiti. Una condizione sufficiente ma non necessaria, affinché esista il limite del prodotto (o della somma) è che le singole funzioni siano regolari (i.e. ammettono limite). Infatti, per quanto riguarda la somma, basta considerare f1(x)=x+sin(1/x), f2(x)=x-sin(1/x) entrambe non regolari per x->0. Tuttavia la somma f1(x)+f2(x)=2x è ivi regolare (più precisamente, è infinitesima).

Passiamo al prodotto, considerando l'esempio f1(x)=x, f2(x)=exp(sin(x)). La prima diverge positivamente per x->+oo, mentre la seconda è non regolare. Tuttavia in questo pdf enunciamo un teorema secondo cui se f2(x) è definitivamente maggiore di un numero positivo (intorno a +oo), allora il prodotto f1(x)*f2(x) diverge positivamente (se f1(x) è tale).

Tags: limite del prodotto di due funzioni