» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Limiti di funzioni: quando la regola di De L'Hospital non è applicabile

Sul gruppo facebook di matematica relativo a questo blog, un utente ha proposto il calcolo del seguente limite:

Dopo aver mostrato che l'argomento del logaritmo converge a 1, si ha che tale limite si presenta nella forma indeterminata 0·oo. Riconducendo tale forma alla 0/0 e applicando la regola di De L'Hospital, il limite non viene calcolato in quanto si ripresenta la 0·oo. Un altro utente ha risolto applicando l'analisi matematica non standard. Dal momento che non conosco tale paradigma di calcolo, cercherò di applicare una qualche manipolazione in modo da rimuovere l'indeterminazione.

In realtà tale limite appartiene a una classe di limiti derivanti da

1. f₁(x) diverge positivamente per x->x₀:
   
2. f₂(x) converge a 1 per x->x₀:
   

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[¯|¯] Come catturare l'ordine di un infinitesimo

Determinare l'ordine di infinitesimo (in x=0) della funzione assegnata assumendo come infinitesimo di riferimento la funzione u(x)=x. Qual è la sua parte principale?

Soluzione

Esplicitiamo il limite

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