» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Corrispondenza univoca. Corrispondenza inversa di una assegnata corrispondenza

martedì, Giugno 5th, 2018

Denotiamo con S ed S' due insiemi non vuoti.

Definizione
Una corrispondenza φ da S verso S' si dice univoca se

cioè se φ associa ad ogni elemento x di S, un sottoinsieme di S costituito da un solo elemento.

Comunque prendiamo una corrispondenza univoca φ:

è univocamente determinata l'applicazione

Osservazione
La determinazione univoca dell'applicazione ψ a partire da un'assegnata corrispondenza φ, implica che è possibile identificare la predetta corrispondenza con l'applicazione ψ, giacché sussiste anche il contrario, e cioè comunque prendiamo un'applicazione

è univocamente determinata la corrispondenza univoca:










Ciò premesso, assegnata una corrispondenza φ di S verso S'

consideriamo il seguente sottoinsieme di S:

In altri termini, preso ad arbitrio un elemento x' di S', possiamo considerare il sottoinsieme di S i cui elementi x sono tali che φ(x) contenga x' come elemento. È naturale, allora, definire la seguente corrispondenza da S' verso S

Chiamiamo φ^-1 corrispondenza inversa della φ. Nell'esempio precedente abbiamo studiato la corrispondenza

che associa a ogni retta r del piano l'insieme dei punti di intersezione di r con una circonferenza assegnata S'. Riesce

Dal momento che φ(r) è l'insieme dei punti di intersezione di r con S', si ha che φ^-1(P) è l'insieme di tutte e sole le rette del piano che intersecano S' in sottoinsiemi φ(r) di S' contenenti il punto P come elemento. In altri termini, φ^-1(P) è l'insieme delle rette per P.

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[¯|¯] Esempio di corrispondenza tra insiemi

lunedì, Giugno 4th, 2018

Vediamo un esempio di corrispondenza tra insiemi

Assegnato un piano α dello spazio ordinario, denotiamo con S l'insieme delle rette contenute in α, e una circonferenza di tale piano, quale insieme S' di punti di α equidistanti da un punto assegnato (centro della circonferenza).

Comunque prendiamo una retta r di S, l'insieme dei punti di intersezione di r con S' è un sottoinsieme di S', i.e. un elemento dell'insieme delle parti di S' che solitamente si indica con P(S'). Indichiamo con Xzsub>r l'insieme dei punti in comune tra un'assegnata retta r e la circonferenza S'. Cioè

Nel caso della fig. 1:

Infatti le tre rette r₁,r₂,r₁ sono rispettivamente esterna, secante e tangente alla circonferenza S'. Possiamo, quindi, stabilire una legge che associa a ogni retta di α un insieme di punti di S'. Tale legge è manifestamente una corrispondenza da S verso S':

Per quanto precede:

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