» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Uguaglianza logica. Uguaglianza geometrica. Insiemi in estensione

mercoledì, Giugno 6th, 2018

Definizione
Due elementi a e b sono uguali se e solo se sono stesso elemento, e si scrive

Tale definizione rappresenta la nozione di uguaglianza logica (o uguaglianza in logica matematica) ed è diversa dal concetto di uguaglianza geometrica. Ad esempio, due quadrati di lato l sono geometricamente uguali in quanto sovrapponibili, ma logicamente distinti (cfr. fig. 1).

Comunque prendiamo un elemento a, possiamo considerare l'insieme il cui unico elemento è a, e che viene denotato con {a}, tenendo presente che a e {a} sono due nozioni distinte. Il predetto simbolo definisce la notazione in estensione di un assegnato insieme. Più precisamente, se un insieme A è costituito da n elementi a₁,a₂,...,a_n, la notazione estesa restituisce l'oggetto:

Si badi che nella notazione in estensione, l'ordine con cui sono disposti i singoli elementi, è ininfluente. Ad esempio, consideriamo l'insieme:

Per quanto precede:

Inoltre, un elemento può essere ripetuto più volte:

Appartenenza ad un insieme. Il simbolo di Peano

Ilsimbolo di Peano definisce l'appartenenza di un elemento a un insieme:

che si legge "a appartiene ad A". Un simbolo equivalente è

che si legge "A contiene a come elemento". Viceversa, se a non è un elemento di A, dobbiamo eseguire la negazione dell'appartenenza. E ciò viene fatto barrando il simbolo di Peano:

Altri simboli logici sono i connettivi logici:

e la sua negazione

Simbolo di equivalenza

Un altro simbolo notevole è | ("tale che").

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[¯|¯] Definizione di insieme. Il paradosso di Russell

martedì, Giugno 5th, 2018

Un insieme è un "Molti" che si lascia
pensare come un "Uno"
G. Cantor, 1883

Prima di passare alla definizione di insieme e al paradosso di Russel, citiamo alcuni brani del libro La mente e l'infinito del matematico e scrittore Rudy Rucker

Proviamo a pensare al Tutto, all'universo passato e presente nella sua interezza, a tutti gli universi possibili, a tutti i possibili pensieri, a tutti gli insiemi di enti matematici.

Si può pensare a tutto ciò? Il classico problema Uno/Molti nasce dalla seguente domanda: il Tutto può essere considerato come un singolo oggetto, come un'unità? Il mondo è un Uno o un Molti?
[...]

C'è tuttavia un desiderio inesauribile di ridurre la molteplicità dei fenomeni del mondo a un unico tipo fondamentale, di credere che in ultima analisi tutte le cose siano fatte della stessa sostanza. Materia, sensazione, pensiero e forma sono stati tutti candidati per la qualifica di "Urstoff", di materia primordiale. La credenza che vi sia in ultima analisi un solo tipo di oggetti nel mondo è detta "monismo dei generi".
[...]

(altro…)

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