» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Proprietà della relazione di inclusione. Insieme delle parti

giovedì, Giugno 7th, 2018

Nella lezione precedente abbiamo definito l'inclusione di un insieme A in un insieme B:

Comunque prendiamo un insieme A, la relazione di inclusione verifica le seguenti proprietà:

1. Proprietà riflessiva
   
   cioè A è contenuto in sé stesso.
2. Proprietà antisimmetrica
   
3. Proprietà transitiva
   

Insieme delle parti

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, dicesi insieme delle parti di S, l'insieme

cioè l'insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di S.

In altri termini, assegnato un qualunque insieme S, i suoi sottoinsiemi pensati come elementi, costituiscono l'insieme delle parti di S.

Proposizione

Dimostrazione
L'asserto discende da una proprietà esaminata in precedenza, e cioè

per cui P(S) contiene almeno un elemento. Più precisamente

Proposizione

Dimostrazione
Comunque prendiamo S:

Proposizione
Se S è costituito da n elementi distinti, P(S) è costituito da 2ⁿ elementi distinti.

Dimostrazione

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[¯|¯] Diagramma di Eulero-Venn. Inclusione. Sottoinsiemi. L'insieme vuoto

mercoledì, Giugno 6th, 2018

Un diagramma di Eulero-Venn o semplicemente diagramma di Venn è un ente geometrico che rappresenta un insieme. Precisamente, è una curva semplice e chiusa ("semplice" significa che non si intreccia) di un piano assegnato che racchiude i punti rappresentativi degli elementi dell'insieme assegnato.

Esempio
Il diagramma di Venn dell'insieme A={a,b,c} è in fig.1.

Inclusione. Sottoinsiemi. L'insieme vuoto

Siano A e B due insiemi.
Definizione
A è un sottoinsieme di B se

Locuzioni equivalenti sono "A è contenuto in B", "A è incluso in B".

Tale definizione è simboleggiata da

equivalente a

Esempio
L'insieme dei numeri dispari è un sottoinsieme degli interi naturali.

Se

si ha che ogni elemento di A è un elemento di B, e viceversa. Ne consegue che A e B coincidono, ovvero sono lo stesso oggetto:

Definizione
L'insieme vuoto è l'insieme definito da una legge a cui non soddisfa alcun oggetto.
In altri termini, l'insieme vuoto non contiene alcun elemento e si indica con uno dei seguenti simboli:

In altri termini, l'insieme vuoto non contiene alcun elemento e si indica con uno dei seguenti simboli:
Esempio
L'insieme dei numeri primi maggiori di 43 e minori di 47, è vuoto.

Proprietà
L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
Definizione
Sia B un insieme non vuoto. Diremo che l'insieme A è un sottoinsieme proprio di B se

Locuzioni equivalenti: "A è contenuto strettamente in B", "B contiene strettamente A".

L'inclusione in senso stretto sussiste anche se A è vuoto:

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