» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Applicazioni suriettive, iniettive, bi-iettive

venerdì, Giugno 8th, 2018

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice suriettiva (o surgettiva o che è una surgezione) se f(S)=S', cioè se ogni elemento x' di S' proviene, attraverso f, da un elemento x di S.
Questi esempi mostrano applicazioni surgettive.

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice iniettiva se

cioè se la controimmagine di ogni elemento di f(S) è costituita da un solo elemento. Ne consegue che se f è iniettiva, ogni elemento di x di f(S) proviene da un solo elemento x di S. Posto

si ha

Esempio
Denotiamo con N l'insieme degli interi naturali. Sia data l'applicazione che a ogni intero n associa il doppio 2n:

Segue

cioè l'immagine di N mediante f è l'insieme dei numeri pari:

Determiniamo la controimmagine:

onde

Ne concludiamo che f è iniettiva.









Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice bi-iettiva o che è una bi-iezione se è suriettiva e iniettiva.

Applicazione identica e applicazione costante

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S non vuoto, dicesi applicazione identica, l'applicazione:

cioè l'applicazione che associa a ogni elemento x di S, l'elemento medesimo.

Riesce

da cui la bi-iettività di e_S.
Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice costante se

cioè se ogni elemento x di S muta mediante f, in un elemento fisso di f(S).

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[¯|¯] Applicazioni tra insiemi

venerdì, Giugno 8th, 2018

Siano S ed S' due insiemi non vuoti.
Definizione
Dicesi applicazione o funzione di S in S' una legge che associa ad ogni elemento x di S un elemento x' di S'. Un'applicazione è simboleggiata da una delle seguenti notazioni:

L'elemento x'=f(x) si chiama immagine di x mediante f. Il sottoinsieme di S'

si chiama immagine di S mediante f. Per un assegnato x' di S', il sottoinsieme di S:

si dice controimmagine di x' mediante f. Tale sottoinsieme è vuoto se e solo se x' non appartiene a f(S):

Definizione
Le applicazioni f:S->S' e g:S->S' si dicono coincidenti e si scrive f=g, se


Esempio 1
Assegnata ad arbitrio una retta r di un piano α, consideriamo l'applicazione che a ogni punto di α associa il punto P' dato dall'intersezione di r con la retta r' per P e ortogonale a r, come mostrato in
fig.

Quindi

Riesce

cioè l'immagine di α mediante f è la retta r. Per un assegnato P' di r:

ovvero la controimmagine di un un generico P'di r è la retta r'.

Esempio 2
In un piano α consideriamo due rette parallele r ed r'. Sia O un punto appartenente al semipiano delimitato inferiormente da r, come mostrato nella figura al top di questa pagina, dove è riportato testo e risultati.

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