» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Non applicabilità del procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

venerdì, Giugno 16th, 2017

In uno spazio vettoriale reale E₂ sia definita la metrica:

in una base {e₁,e₂}. Determinare una base ortonormale e la segnatura.
Soluzione
Riesce

onde lo spazio assegnato è pseudoeuclideo. Applichiamo il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

Abbiamo

per cui il predetto procedimento non è applicabile.

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[¯|¯] Componenti covarianti e controvarianti di uno stesso vettore

giovedì, Giugno 15th, 2017

Sia E_n uno spazio euclideo (o pseudoeuclideo) n-dimensionale. Se {e_i} è una base di E_n, la forma bilineare che definisce il prodotto scalare in E_n, è data da

Per quanto precede

dove per consuetudine indichiamo con · il prodotto scalare i.e. il valore assunto dalla predetta forma bilineare. Ciò premesso, se x è un qualunque vettore di E_n, si ha:

dove al solito, le xⁱ sono le componenti di x nella base {e_i}, che ora chiamiamo componenti controvarianti del vettore x nella base {e_i}. D'altra parte, eseguendo il prodotto scalare restano definite le componenti x_i (cioè con indici in basso):

(altro…)

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