» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il grafico di una funzione non è un sottospazio vettoriale di R^2

martedì, Giugno 13th, 2017

Per un'assegnata funzione f:R->R, si consideri il seguente sottoinsieme dello spazio vettoriale R² denominato
grafico di f:

1. Mostrare che E(f) non è un sottospazio vettoriale R².
2. Mostrare che introducendo in E(f) le leggi di composizione:
   
   e
   
   così definite:
   
   E(f) assume la struttura di spazio vettoriale su R.

Soluzione
Quesito 1

E(f) è un sottospazio vettoriale di R² se e solo se è chiuso rispetto alle leggi di composizione che conferiscono a R² la struttura di spazio vettoriale. Ricordiamo che tali leggi si scrivono:

e

(altro…)

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[¯|¯] Esercizio sui vettori controvarianti

lunedì, Giugno 12th, 2017

Se {e_i} (i=1,2,3) è una qualunque base di uno spazio vettoriale E₃ sul campo reale R, verificare i seguenti punti:

1. Il sistema {e'_i} è linearmente indipendente, dove:
   
2. Il sistema {u_i} è linearmente indipendente, essendo:
   

3. Le terne ordinate (4,-1,2) e (5,7,1) non sono le componenti controvarianti dello stesso vettore nelle basi {e_i} ed {u_i}.

Soluzione
Scriviamo

Ma {e_i} è linearmente indipendente, per cui l'equazione precedente implica

che è un sistema lineare omogeneo nelle incognite (λ₁,λ₂,λ₃). Il determinante della matrice dei coefficienti è:

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