» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Quando la somma non è una somma diretta

sabato, Luglio 1st, 2017

Esercizio
Nello spazio vettoriale R³ si considerino i seguenti sottospazi:

dove

Determinare una base della somma e dell'intersezione dei predetti sottospazi.

Soluzione
Il sistema di vettori Σ₁ è linearmente indipendente, per cui è una base di V₁ => dim(V₁)=2 Allo stesso modo dim(V₂)=2, giacché Σ₂ è linearmente indipendente. Riesce

D'altra parte

è lineramente dipendente, giacché

Per determinare una base della somma V₁+V₂ procediamo per trasformazioni elementari

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[¯|¯] Come determinare il supplementare di un sottospazio vettoriale

venerdì, Giugno 30th, 2017

Esercizio
Nello spazio vettoriale R⁴ si considerino i seguenti sottospazi:

1. Stabilito che Σ₁ è una base di V₁, determinare il valore del parametro reale λ per il quale v=(5,-λ,1,λ) è un elemento di V₁ e, per tale valore, decomporlo rispetto alla base Σ₁.
2. Determinare un sottospazio W che sia supplementare di V₂ in R⁴

Soluzione
Σ₁ è una base di V₁ se e solo è linearmente indipendente. Scriviamo

Cioè

da cui il sistema lineare omogeneo:

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