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[¯|¯] Esercizio svolto sui tensori controvarianti di rango 2

martedì, Giugno 6th, 2017

Consideriamo il prodotto tensoriale di due spazi 2-dimensionali E₂ e F₂ sul campo reale R. Se {e₁,e₂} e {f₁,f₂} sono due basi dei predetti spazi vettoriali, si ha:

Osservazione
Per quanto detto in in precedenza avremmo dovuto scrivere:

ove η_i e ρ_k denotano le forme lineari che compongono le rispettive basi biduali. D'altra parte, queste ultime si identificano a meno di un inessenziale isomorfismo naturale, con le rispettive basi degli spazi vettoriali assegnati. In tal modo è giustificata la formula precedente.

Senza perdita di generalità, supponiamo che E₂ e F₂ siano strutturati come spazi euclidei e che le predette basi siano ortonormali (cfr. fig. 1):

dove · denota il prodotto scalare.
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[¯|¯] Tensori controvarianti (seconda parte)

lunedì, Giugno 5th, 2017

Nel post precedente abbiamo definito i tensori controvarianti di rango 2 quali elementi dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E_n e F_m sul medesimo campo K. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice T^ik siano le componenti del tensore T in una base del predetto spazio.
Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e a meno di un isomorfismo naturale, si riconducono ad elementi appartenenti a E_n e F_n rispettivamente. In ogni caso abbiamo:

ove σⁱ sono le componenti di σ in una base assegnata di E_n^**. Denotando con {η_i} tale base, si ha:

D'altra parte, σⁱ sono anche gli elementi di matrice della forma lineare s nella base duale {θⁱ} associata a {e_i}, per cui
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