Archive for the ‘Algebra tensoriale’ Category

[¯|¯] Esercizio svolto sui tensori controvarianti di rango 2

martedì, Giugno 6th, 2017

tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale
Fig. 1. I due spazi vettoriali E2 e F2 entrambi 2-dimensionali, danno luogo - attraverso il prodotto tensoriale - ad uno spazio vettoriale 4-dimensionale.


Consideriamo il prodotto tensoriale di due spazi 2-dimensionali E2 e F2 sul campo reale R. Se {e1,e2} e {f1,f2} sono due basi dei predetti spazi vettoriali, si ha:

tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale

Osservazione
Per quanto detto in in precedenza avremmo dovuto scrivere:
tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale

ove ηi e ρk denotano le forme lineari che compongono le rispettive basi biduali. D'altra parte, queste ultime si identificano a meno di un inessenziale isomorfismo naturale, con le rispettive basi degli spazi vettoriali assegnati. In tal modo è giustificata la formula precedente.


Senza perdita di generalità, supponiamo che E2 e F2 siano strutturati come spazi euclidei e che le predette basi siano ortonormali (cfr. fig. 1):

tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale

dove · denota il prodotto scalare.
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[¯|¯] Tensori controvarianti (seconda parte)

lunedì, Giugno 5th, 2017

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale


Nel post precedente abbiamo definito i tensori controvarianti di rango 2 quali elementi dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale degli spazi vettoriali En e Fm sul medesimo campo K. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice Tik siano le componenti del tensore T in una base del predetto spazio.
Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e a meno di un isomorfismo naturale, si riconducono ad elementi appartenenti a En e Fn rispettivamente. In ogni caso abbiamo:

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

ove σi sono le componenti di σ in una base assegnata di En**. Denotando con {ηi} tale base, si ha:
tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

D'altra parte, σi sono anche gli elementi di matrice della forma lineare s nella base duale {θi} associata a {ei}, per cui
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