[¯|¯] Esercizio svolto sui tensori controvarianti di rango 2 |

[¯|¯] Esercizio svolto sui tensori controvarianti di rango 2

Giugno 6th, 2017 | by Marcello Colozzo |

tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale — **Fig. 1. I due spazi vettoriali E₂ e F₂ entrambi 2-dimensionali, danno luogo - attraverso il prodotto tensoriale - ad uno spazio vettoriale 4-dimensionale.**

Consideriamo il prodotto tensoriale di due spazi 2-dimensionali E₂ e F₂ sul campo reale R. Se {e₁,e₂} e {f₁,f₂} sono due basi dei predetti spazi vettoriali, si ha:

Osservazione
Per quanto detto in in precedenza avremmo dovuto scrivere:

ove η_i e ρ_k denotano le forme lineari che compongono le rispettive basi biduali. D'altra parte, queste ultime si identificano a meno di un inessenziale isomorfismo naturale, con le rispettive basi degli spazi vettoriali assegnati. In tal modo è giustificata la formula precedente.

Senza perdita di generalità, supponiamo che E₂ e F₂ siano strutturati come spazi euclidei e che le predette basi siano ortonormali (cfr. fig. 1):

dove · denota il prodotto scalare.

Segue
tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale

Osserviamo infine che il prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E₂ e F₂ è isomorfo al prodotto cartesiano E₂×F₂, giacché si tratta di spazi vettoriali isodimensionali (per un noto teorema l'isodimensionalità è condizione necessaria e sufficiente per l'isomorfismo):