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[¯|¯] Esonero di Analisi Matematica 1 - Teorema dei Carabinieri

Settembre 6th, 2014 | by extrabyte |

Oggi pubblichiamo la simulazione n. 2 di un esonero di analisi matematica 1. Si tratta di calcolare un limite applicando il Teorema dei Carabinieri.

Ecco il testo:

Assegnata la funzione:

$$f\left( x\right) =x+2\pi\sin x,$$

dimostrare, applicando il teorema dei carabinieri, che $f$ diverge positivamente per $x\rightarrow+\infty$, mentre diverge negativamente per $x\rightarrow-\infty$.in un intorno del punto $x_{0}=0$.

Svolgimento

Risulta

$$-1\leq\sin x\leq1\Longrightarrow-2\pi\leq2\pi\sin x\leq2\pi\Longrightarrow x-2\pi\leq x+2\pi\sin x\leq x+2\pi<br />$$

Cioè:

$$g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq h\left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%<br />$$

essendo $g\left( x\right) =x-2\pi, h\left( x\right) =x+2\pi$. Inoltre:

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) =+\infty,\,\,\,\lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left( x\right) =+\infty<br />$$

Per il teorema dei carabinieri:

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =+\infty$$

Allo stesso modo si dimostra che $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right)<br /> =-\infty$.

In figura riportiamo i grafici delle funzioni $f\left( x\right) ,\,g\left( x\right)$ e $h\left(x\right)$.

Tags: esonero analisi matematica 1, Limiti di funzioni reali di una variabile reale, Teorema dei carabinieri

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