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Conducibilità elettronica nei metalli. Il modello di Drude

Gennaio 26th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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È un modello completamente basato sulla meccanica classica. Precisamente, gli elettroni di conduzione sono schematizzati attraverso un gas perfetto in equilibrio termodinamico.

L'applicazione di un campo elettrico E a un singolo elettrone determina una forza F=qE, essendo q=-e < 0 la carica elettrica dell'elettrone; ne segue che la particella è accelerata in direzione opposta al campo elettrico. Infatti, per la seconda legge di Newton

dove m è la massa dell'elettrone. Nel loro moto gli elettroni urtano con frequenza elevata contro gli ioni del reticolo cristallino del solido, perdendo l'energia cinetica acquisita attraverso l'applicazione del campo elettrico (urti anelastici). La frequenza degli urti può essere quantificata attraverso τ^-1, essendo τ il tempo di rilassamento che ci consente di definire una velocità di deriva

manifestamente dovuta al campo elettrico. D'altra parte, la velocità quadratica media è

dove <·> denota la media statistica, mentre T è la temperatura di equilibrio e k_{B} la costante di Boltzmann. A temperatura ambiente si trova:

Dal momento che la velocità di deriva è determinata dal campo, la densità di corrente si scrive

essendo n la densità del numero di elettroni. Per una questione legata al segno della carica elettrica, riscriviamo

Cioè

che ha le sembianze della legge di Ohm

dove σ è la conducibilità

La conducibilità può essere espressa in termini di mobilità definita come:

Ne segue

Per quanto precede, il reciproco del tempo di rilassamento è la frequenza degli urti elettrone-ioni. Siccome la dinamica degli elettroni nel reticolo è un processo aleatorio si ha che la velocità istantanea di singolo elettrone è una variabile aleatoria, per cui possiamo considerarne la funzione di autocorrelazione

dove τ è il tempo di rilassamento e la media è eseguita sul corrispondente insieme statistico. La funzione di autocorrelazione è definita come

Fisicamente significa che nel singolo urto l'elettrone perde completamente l'energia cinetica ricevuta dall'applicazione del campo elettrico. Sperimentalmente, τ si misura attraverso la conducibilità a patto di conoscere la densità n del numero di elettroni. I dati sperimentali sono in buon accordo con il modello appena descritto, ma solo a temperatura ambiente.
Il modello di Drude va corretto tenendo conto degli effetti quantistici del gas di elettroni.

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