» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esponenziali mostruosi

Febbraio 9th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Nell'esercizio precedente abbiamo stabilito il seguente risultato:

Come vedremo più avanti, ciò si esprime dicendo che la funzione e^tan(x)-e^x è per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. In questo numero ci proponiamo di generalizzare il predetto risultato studiando il seguente problema:
Problema
Determinare due funzioni φ(x) e ψ(x) tali che la funzione e^φ(x)-e^ψ(x) sia per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. Cioè

Soluzione
Per semplicità supponiamo che φ(x) e ψ(x) siano infinitesimi per x->0:

per cui

come richiesto. Inoltre, supponiamo che tali funzioni siano derivabili almeno 3 volte in un intorno di x=0, in modo da poter applicare regola di De L'Hospital per un sufficiente numero di volte. Pertanto

Evidentemente se

si ha

In altri termini, se la funzione

non è un infinitesimo per x->0, necessariamente la funzione x³ tende a 0 più rapidamente di e^φ(x)-e^ψ(x), per cui quest'ultima è un infinitesimo di ordine <3.
OsservazioneEscludiamo il caso in cui la funzione

è non regolare in x=0, i.e. non tende ad alcun limite per x->0.
Ne consegue che affinché il problema proposto ammetta almeno una soluzione, deve essere

In tale ipotesi possiamo riapplicare la regola di De L'Hospital:

Anche qui deve essere

Riapplicando la regola di De L'Hospital:

Ne consegue che affinché il problema ammetta almeno una soluzione, deve essere:

Se è verificata tale condizione si ha:

Ad esempio per

applicando le formule precedenti si ottiene il risultato illustrato in fig. 1.

Tags: infinitesimi, limiti di funzioni esponenziali, ordine di un infinitesimo, regola di de l'hospital

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