Considerazioni sparse sui semiconduttori

Gennaio 24th, 2022 | by Marcello Colozzo |

semiconduttori, statistica di fermi-dirac


Generalità

Il meccanismo fisico che determina una corrente elettrica nei semiconduttori è completamente diverso da quello che caratterizza i metalli (elettroni di conduzione). Come sappiamo, mentre nei metalli la banda di conduzione è contigua a quella di valenza, nei semiconduttori tali bande sono separate da una gap che in materiali del tipo silicio/germanio è dell'ordine di 1 eV. Negli isolanti, invece, si raggiungono i 5-7 eV.
Alla temperarua dello zero assoluto, siamo "a bocce ferme" nel senso che gli elettroni riempiono la banda di valenza e non hanno energia (termica) sufficiente per passare alla banda di conduzione, che quindi rimane vuota. Si badi che ciò non è un "salto quantico", ma semplicemente un effetto di natura termica, quindi statisticamente efficace. In parole povere, nei semiconduttori il "gioco sporco" è svolto dalla temperatura. Ben diverso, invece, è il comportamento dei metalli che esibiscono il fenomeno della superconduttività quando la temperatura di equilibrio termodinamico si avvicina allo zero assoluto.

Esistenza fenomenologica delle «lacune»

Per quanto precede, per T > 0 una certo numero di elettroni avrà energia sufficiente per superare il gap, passando in banda di conduzione. È chiaro che ciò non innesca una densità di corrente elettrica, nel senso che non c'è spostamento di carica. Semplicemente, gli elettroni occupano livelli di energia più alti. Per avere uno spostamento di carica dobbiamo applicare un campo elettrico. L'aspetto interessante, comunque, è dato dagli "stati vacanti" che fenomenologicamente sono associati alle cosiddette "lacune" che si comportano alla stregua di cariche positive. Per comprendere tale meccanismo è utile la seguente metafora. Immaginiamo un cinema dove tutti i posti in platea sono occupati. Ciò rappresenta la configurazione di un semiconduttore allo zero assoluto. All'improvviso uno spettatore si alza e sale in galleria (significa che abbiamo riscaldato il semiconduttore, mandando idealmente un elettrone in banda di conduzione). Immaginiamo questa situazione: il posto vacante in platea viene automaticamente occpuato dallo spettatore che sedeva a fianco, lasciando quindi il proprio posto vuoto che a sua volta, verrà occupato da quello a fianco e così via... In tal modo verrà a crearsi un movimento di spettatori e al contempo un movimento in senso opposto di posti vacanti. In questa visualizzazione, gli spettatori rappresentano gli elettroni che si spostano in un dato verso, mentre i posti vacanti sono le "lacune" che si muovono in direzione opposta. Dal momento che gli elettroni hanno carica negativa, riesce spontaneo assegnare una carica positiva alle lacune. Queste ultime non sono particelle nel senso materiale del termine, e riescono tuttavia a descrivere fenomenologicamente il processo di conduzione elettrica nei semiconduttori. In realtà, la loro origine deriva da una descrizione semiclassica dei processi quantistici che avvengono in tali materiali. Se ad esempio, prendiamo un metallo, sappiamo che gli "elettroni periferici" (cioè di valenza) sono descritti dalla propagazione di un pacchetto d'onde di Bloch le cui componenti monocromatiche sono soluzioni dell'equazione di Schrödinger (stazionaria) in cui l'energia potenziale è una funzione periodica delle coordinate spaziali, che "riflette" la periodicità della struttura cristallina. Fin qui stiamo lavorando in ambito di meccanica quantistica ed è giusto che sia così. L'approccio semiclassico consiste nel considerare il moto del pacchetto di Bloch alla stregua di un punto materiale classico che si muove alla velocità di gruppo del pacchetto. Quando applichiamo un campo elettrico, scriviamo l'equazione differenziale del moto (seconda legge di Newton) assumendo come accelerazione la derivata temporale della velocità di gruppo. Qui ci troviamo in alcune difficoltà interpretative, poiché il pacchetto di Bloch esibisce il fenomeno della dispersione. Ne consegue una dipendenza della "massa" dei portatori di carica (che "dovrebbero" essere solo elettroni, almeno a rigor di logica) dal numero d'onde k di singola onda di Bloch che compone l'omonimo pacchetto. Non ci preoccupiamo più di tanto, nel senso che chiamiamo questo nuovo oggetto "massa efficace", che ci sta dicendo di quanto un pacchetto di Bloch differisce da un pacchetto di De Broglie (che descrive quantisticamente il moto di una particella libera). Cioè, la massa efficace ci sta dicendo che i nostri elettroni sono "imbrigliati" nel potenziale periodico del reticolo per cui non sono affatto particelle libere, ma "quasi" libere perché il potenziale periodico è l'ovvia generalizzazione di un potenziale costante, dato che riprende periodicamente gli stessi valori. Il problema è che la massa efficace può assumere valori negativi, e ciò non ha senso se non reinterpretando queste masse negative in termini di "lacune" dotate di carica elettrica opposta a quella degli elettroni. In parole povere, le lacune sono un quid astratto fenomenologicamente utile, ma non è detto che a tale livello la natura funzioni proprio in questo modo. Ciò è corroborato dal fatto che tali oggetti sono una conseguenza dell'approssimazione semiclassica di un problema di chiara radice quantistica.

In ogni caso, le lacune sono sottoposte alla statistica di Fermi-Dirac, per cui ci aspettiamo spin 1/2. Possono realizzarsi stati legati elettrone-lacuna? La risposta è sì: sono i cosiddetti eccitoni. Si tratta di "quasiparticelle" e ciò ci ricorda le coppie di Cooper della superconduttività, anche se qui il meccanismo fisico è diverso, giacché abbiamo due elettroni in uno stato di singoletto di spin. Tuttavia, nulla ci impedisce di considerare un eccitone quale sistema legato elettrone-lacuna in uno stato di singoletto. In linea di principio, si potrebbe realizzare un sistema di eccitoni quale «gas» di Bose che portato a basse temperature, esibisce la condensazione di Bose-Einstein e che quindi, potrebbe dar luogo al fenomeno della superconduttività. Sfortunatamente, le lacune violano l'equazione di continuità giacché riducendo la temperatura del sistema, gli elettroni ritornano nella banda di valenza andando ad occupare i posti rimasti vuoti, per cui le lacune svaniscono.

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