Propagazione ondosa e dispersione

Maggio 2nd, 2021 | by Marcello Colozzo |

onde di de broglie,onde elettromagnetiche,pacchetto d'onde

Onde di De Broglie
Qui l'equazione d'onda è l'equazione di Schrödinger per una particella libera:

dove per semplicità consideriamo una propagazione unidimensionale. Ricerchiamo soluzioni del tipo onda piana monocromatica, che con ovvio significato dei simboli si scrivono:

Ricordiamo che k e ω sono rispettivamente il numero d'onde e la frequenza (angolare). Imponendo che ψ sia soluzione si trova:

La funzione ω(k) ci dà delle informazioni sulla dispersione, nel senso che considerando una sovrapposizione lineare di onde monocromatiche (pacchetto d'onde), le singole componenti monocromatiche si propagano alla velocità di fase:

che differisce dalla velocità di gruppo (con cui avviene il trasporto di energia):

da cui vediamo che i conti tornano, nel senso che troviamo la velocità classica della particella descritta da un'onda di De Broglie piana e monocromatica.

Onde elettromagnetiche
Qui abbiamo l'equazione di D'Alembert

essendo c la velocità della luce. Di nuovo, ricercando soluzioni del tipo onda piana monocromatica, troviamo

che essendo lineare, ci sta dicendo che non c'è dispersione in un qualunque pacchetto d'onde. Anche qui i conti tornano, basta moltiplicare per h tagliato, per ritrovare l'energia dei fotoni E=cp.
Onde di Klein-Gordon
Qui l'equazione è

Ricercando le solite soluzioni del tipo onda piana monocromatica, troviamo la legge di dispersione

da cui l'energia della particella relativistica (di spin 0) rappresentata dalla predetta onda:

La linearità delle equazioni appena viste ci consente di sovrapporre linearmente le soluzioni fondamentali (cioè del tipo onda piana monocromatica). Precisamente

dove A(k) la densità spettrale (nel dominio dei numeri d'onda). Nel caso delle onde di De Broglie, A(k) è la trasformata di Fourier del profilo iniziale dell'onda:

Per le onde elettromagnetiche e le onde di Klein-Gordon:

giacché le condizioni iniziali richiedono la derivata prima rispetto al tempo calcolata nell'istante iniziale (l'equazione è del secondo ordine rispetto alla derivata temporale).

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