Serie logaritmica e serie binomiale

Novembre 15th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Serie logaritmica

È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione f(x)=ln(1+x). Tale funzione è definita in (-1,+8). Calcolando le derivate si trova:

Enunciamo senza dimostrare, il seguente
Teorema
La serie logaritmica converge assolutamente in (-1,1):

Serie binomiale

È la serie di Mac-Laurin relativa alla funzione potenza di esponente reale scritta come

Calcolando le derivate, si perviene a

Il generico termine ci ricorda il coefficiente binomiale di indice n e base k

ricordando che la convenzione 0!=1 implica:

Segue

che ci consente di estendere tale sviluppo al campo reale:

In tal modo, la precedente serie di Mac-Laurin assume la forma compatta:

Si tratta, dunque, di stabilire:

Osserviamo incidentalmente che nel caso di esponente intero naturale n:

Cioè la predetta serie si riduce a una somma di ordine n, restituendo la ben nota formua del binomio di Newton, valida per ogni x reale. Escludendo questo caso banale, enunciamo senza dimostrare il seguente
Teorema
La serie binomiale converge assolutamente in (-1,1):

Non converge per |x| > 1. Può al più convergere in [-1,1], trattando con le dovute cautele il punto x=-1, giacché le derivate di ordine k > λ non sono ivi definite, per cui non è applicabile il teorema dimostrato in questa lezione

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