Moto unidimensionale di tre masse collegate da due molle

Ottobre 14th, 2021 | by Marcello Colozzo |

molla,oscillatore armonico,frequenze normali — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un sistema di tre masse come in fig. 1, con M > m, si muove lungo una retta orizzontale. Si chiede:

a) quali sono le frequenze presenti nel sistema;
b) se la massa di sinistra riceve un impulso P₀ al tempo t=0, determinare il moto della stessa massa come funzione del tempo.

Soluzione
Quesito a
Contando da sinistra, siano x₁,x₂,x₃, gli spostamenti delle tre masse dalla loro posizione di equilibrio. La lagrangiana del sistema è

e le equazioni di Lagrange

per risolvere le quali tentiamo le soluzioni seguenti (i è l'unità immaginaria):

che danno

ovvero un sistema lineare omogeneo. Per soluzioni non banali dobbiamo imporre:

Discutiamo

Quindi le frequenze normali sono:

Per ω=ω₁

Dalle equazioni di Lagrange

dove a,b sono costanti, che mostrano che le tre masse subiscono una traslazione come un corpo rigido senza oscillazioni. Per ω=ω₂

e le altre equazioni forniscono

le cui soluzioni sono:

In questo modo la massa m rimane ferma, mentre le masse M oscillano armonicamente fuori fase una con l'altra. Per ?=?3 in modo del tutto simile, si ricava

Cioè le masse M oscillano con la stessa ampiezza e fase, mentre la massa m oscilla fuori fase e con ampiezza diversa. Il moto del sistema si può quindi riassumere in