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[Criteri di convergenza assoluta] Criterio di confronto e suo corollario

Si tratta di importantissimi teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti per la convergenza assoluta di una serie numerica.

Criterio di confronto
Sia

un'assegnata serie a termini positivi. Se

e se la serie a termini positivi converge, allora la serie

converge assolutamente. Se

e se la serie a termini positivi diverge, allora la serie

non converge assolutamente.

Dim.

Segue immediatamente dal teorema dimostrato in questa lezione.

Corollario
Data la serie

se u_n è per n->+oo un infinitesimo di ordine α (rispetto all'infinitesimo di riferimento 1/n), si ha:

Dim.

Per ipotesi:

Cioè

Per un teorema dimostrato in questa lezione

e per il criterio di confronto, la serie assegnata è assolutamente convergente. Viceversa:

Per concludere, la serie scritta in fig. 1 è assolutamente convergente, giacché il termine n-esimo è per n->+oo un infinitesimo di ordine 3/2.

Tags: criteri di convergenza assoluta, criterio di confronto