Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà

Ottobre 5th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Assegnata una successione di elementi di R:

la notazione

rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri u₀,u₁,...,u_n,.... Per assegnare un significato al simbolo

procediamo con un'operazione di passaggio al limite, definendo dapprima la somma parziale di ordine N:

quale elemento della successione di elementi di R:

È intuitivamente ovvio che il significato del simbolo con la sommatoria da 0 a +oo, è univocamente determinato dal comportamento all'infinito della successione delle somme parziali. Diremo, dunque, che il predetto simbolo è una serie numerica o semplicemente, una serie.
Definizione
La serie assegnata è convergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

Il numero reale S è la somma della serie e si scrive:

La serie assegnata è divergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

Si scrive:

La serie assegnata è indeterminata se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

In tal caso non ha senso determinare la somma della serie medesima.
Vediamo alcuni esempi. Sia data la serie:

La cui somma parziale di ordine N è

che è poco maneggevole. Riduciamo il termine n-esimo in frazioni semplici:

per cui

Ne segue

Ne concludiamo che la serie assegnata è convergente ed ha somma 1:

***
Di seguito la cosiddetta serie geometrica

essendo x un numero reale assegnato ad arbitrio. La denominazione geometrica deriva dal fatto che i termini della serie

sono in progressione geometrica di ragione x. Vediamo che per x=1 si ha

Cioè la serie geometrica diverge positivamente per x=1. Per x diverso da 1 si ha

Il comportamento è controllato dalla successione {x^N} ed è facile convincersi che è indeterminata per x minore o uguale di -1, e tale è la serie geometrica in tale intervallo. Per x > 1