Coordinate normali di un sistema meccanico

Ottobre 5th, 2021 | by Marcello Colozzo |

meccanica analitica,coordinate normali — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una massa M è costretta a scivolare senza attrito sulla linea AB; essa è collegata ad una massa m tramite una corda inestensibile e senza massa (fig. 1).
a)Scrivere la lagrangiana del sistema.
b)Trovare le coordinate normali e descriverle.
c)Trovare espressioni per le coordinate normali come funzioni del tempo.

Soluzione
Quesito a
Le coordinate delle masse M e m sono:

La lagrangiana del sistema è quindi:

Quesito b
Per piccole oscillazioni θ e la sua derivata rispetto al tempo sono piccole; nel V possiamo trascurare θ in modo tale da tener conto dei piccoli valori positivi e negativi. Sviluppiamo in serie di Maclaurin cosθ:

Dunque scriveremo:

Le equazioni di Lagrange:

daranno

di cui la prima può essere riscritta come:

e dalla medesima equazione osserviamo che

quindi possiamo scrivere la seconda delle eq. scritte più sopra

Le due nuove equazioni del moto sono disaccoppiate (i.e. indipendenti l'una dall'altra). Quindi η e θ sono le coordinate normali. Il centro di massa del sistema si trova lungo la corda ad una distanza mb/(M+m) dalla massa M. Così η è l'ascissa del centro di massa.

Quesito c
La prima equazione:

mostra che il moto orizzontale del centro di massa è uniforme. L'altra coordinate normale, ?, è l'angolo che la corda forma con la verticale. La soluzione della predetta equazione differenziale è: