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Comportamento di una funzione agli estremi del campo di esistenza

Esercizio
Studiare il comportamento della funzione scritta in fig. 1, agli estremi del suo campo di esistenza:

Soluzione
La funzione è definita in X=R-{0}, per cui calcoliamo i seguenti limiti:

cosicché la funzione è divergente positivamente a destra di x=0, e infintesima a sinistra. Ne segue che in tale punto la funzione ha una discontinuità di seconda specie. Studiamo il comportamento all'infinito:

Ne concludiamo che la funzione è convergente per |x|->+oo, presentando due asintoti orizzontali a sinistra e a destra, rispettivamente, di equazione: y=3, y=5, come illustrato nel grafico di fig. 1.

Tags: Campo di esistenza, funzione, limiti