Matrice metrica di uno spazio unitario

Maggio 14th, 2021 | by Marcello Colozzo |

spazio unitario,matrice metrica


Assegnato unospazio uitario V n-dimensionale, denotiamo con {ei} una sua base.
Definizione
Chiamiamo matrice metrica asoociata alla predetta base, la matrice quadrata di ordine n, i cui elementi sono


Il prodotto interno di due qualunque vettori di V, si esprime attraverso la matrice metrica. Per mostrare ciò, scriviamo innanzitutto i predetti vettori tramite le loro componenti nella base {ei}}:


Segue


per cui


come volevamo mostrare. Alcune proprietà notevoli della matrice metrica:


Cioè la matrice metrica coincide con la trasposta della matrice complessa coniugata. Come sappiamo dall'algebra lineare, una tale matrice si dice hermitiana.
Inoltre:

Ne segue che comunque prendiamo una n-pla ordinata di numeri complessi (λ12,...,λn})

Quindi la matrice metrica è definita positiva.

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