Principio di indistinguibilità. Operatore di scambio

Maggio 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

principio di indistinguibilità, operatore di scambio


Le conclusioni a cui siamo giunti nel numero precedente costituiscono il principio di indistinguibilità che per quanto precede, è una conseguenza del principio di indeterminazione.
Riprendiamo il caso di un sistema quantistico Sq composto da due particelle prive di spin, per cui lo spazio di Hilbert è


Nella rappresentazione delle coordinate, la base che dobbiamo considerare è


Definiamo l'operatore di scambio

che fa il nostro gioco.
Proposizione
L'operatore di scambio è un operatore unitario.

Dim.

L'unitarietà deriva dalla conservazione della norma, i.e. della probabilità:


Allo stesso modo

In realtà, l'unitarietà deriva dalla seguente proposizione:
Proposizione
L'operatore di scambio è idempotente

Dim.

Abbiamo


per cui

Come è noto, un operatore idempotente è unitario ed hermitiano (l'unitarietà è stata dimostrata in precedenza dove abbiamo evidenziato il ruolo svolto dalla conservazione della probabilità). Lo spettro dell'operatore di scambio è {-1,1}. All'autovalore (+1) corrispondono le autofunzioni simmetriche:


mentre all'autovalore (-1) corrispondono le autofunzioni antisimmetriche

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