Principio di indistinguibilità. Operatore di scambio

domenica, Maggio 9th, 2021

Le conclusioni a cui siamo giunti nel numero precedente costituiscono il principio di indistinguibilità che per quanto precede, è una conseguenza del principio di indeterminazione.
Riprendiamo il caso di un sistema quantistico S_q composto da due particelle prive di spin, per cui lo spazio di Hilbert è

Nella rappresentazione delle coordinate, la base che dobbiamo considerare è

Definiamo l'operatore di scambio

che fa il nostro gioco.
Proposizione
L'operatore di scambio è un operatore unitario.

Dim.

L'unitarietà deriva dalla conservazione della norma, i.e. della probabilità:

Allo stesso modo

In realtà, l'unitarietà deriva dalla seguente proposizione:
Proposizione
L'operatore di scambio è idempotente

Dim.

Abbiamo

per cui

Come è noto, un operatore idempotente è unitario ed hermitiano (l'unitarietà è stata dimostrata in precedenza dove abbiamo evidenziato il ruolo svolto dalla conservazione della probabilità). Lo spettro dell'operatore di scambio è {-1,1}. All'autovalore (+1) corrispondono le autofunzioni simmetriche: