L'indistinguibilità delle particelle in Meccanica quantistica |

L'indistinguibilità delle particelle in Meccanica quantistica

Maggio 7th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Continuando a considerare un sistema costituito da particelle identiche e distinguibili, si ha per N=2

Per quanto precede, non stiamo tenendo conto degli eventuali gradi di libertà di spin. Un esempio fisico è dato dal mesone p°. Riferendoci all'osservabile posizione di singola particella, abbiamo l'equazione agli autovalori

Una base ortonormale dello spazio di Hilbert di singola particella è {|x_k>}. Ne segue che

è una base ortormale di H². Le osservabili posizione sono compatibili, ovvero i corrispondenti operatori sono commutanti:

per cui possiamo misurare simultaneamente e con precisione assoluta, le predette osservabili. Supponiamo allora di aver eseguita una misura di posizione in un istante iniziale t₀, ottenendo gli autovalori x_k°?. Si noti che nel caso di un sistema classico, la conoscenza di tali grandezze è insufficiente per definire lo stato meccanico iniziale. Infatti, come è ben noto quest'ultimo è definito da (x_k°,p_k°) dove la seconda grandezza è l'impulso di singola particella. La conoscenza dell'hamiltoniana del sistema, ci consente di ricostruire lo stato meccanico a tutti i tempi e quindi, la traiettoria di singola particella. L'unicità della traiettoria rende distinguibili le particelle nel corso della evoluzione temporale. Diversamente, in meccanica quantistica il principio di indeterminazione di Heisenberg non ci permette di conoscere lo stato quanto-meccanico iniziale, e ciò distrugge il concetto di traiettoria. Supponiamo ad esempio:

A t=t₀ localizziamo la particella 1 in x₁° e la particella 2 in x₂°. A t=t1 localizziamo una delle due particelle in x'₁ e l'altra in x'₂. L'assenza di una traiettoria non è ci consente di stabilire «chi» si trova «dove». Ciò si vede matematicamente, calcolando l'evoluto temporale della funzione d'onda iniziale di singola particella: