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Integrali pseudoellittici

Aprile 17th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fatta questa premessa, passiamo a n > 2, rammentando che n è il grado del polinomio P(x) che compare in

In rari casi un integrale di questo tipo è elementarmente esprimibile. Vale la pena considerare il seguente dove compare un polinomio di quarto grado.

Poniamo

per cui l'integrale diventa

che è elementarmente esprimibile. Chiamiamo allora, integrali pseudoellittici tutti e soli gli integrali

elementarmente esprimibili.

Ciò posto, concentriamoci sugli integrali ellittici, mostrando che lo studio di tali integrali nel caso del grado di polinomio n=3, si riconduce a quello con n=4 e viceversa. Precisamente, supponiamo

Denotando con x₁ una delle radici di P(x), eseguiamo la trasformazione

che equivale a "spostare" la predetta radice a t=oo. Segue

Sviluppando le potenze e ordinando i vari termini, si ha:

ove Q(t) è un polinomio di terzo grado. Se invece

eseguendo la trasformazione

si ottiene

con Q(t) di quarto grado.

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